Breve viaggio logico all’interno del metodo scientifico
Brevissimi cenni su sistemi formali e strutture logiche nella fisica (II di II)
«La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto»
Galileo Galilei
Teoria scientifica: l’esempio della quantistica
Considerazioni analoghe sono ovviamente valide anche nel campo della meccanica quantistica e della logica ad essa soggiacente.
In particolare, ad esempio, un aspetto molto importante della logica quantistica è rappresentata dalla struttura algebrica della teoria. A tal proposito, procedendo in maniera del tutto analoga a quanto fatto in precedenza, possiamo definire un insieme parzialmente ordinato come una struttura del tipo 𝑃 = 〈𝐵,≤〉 dove: 𝑩 è un insieme non vuoto che rappresenta il supporto della struttura, e ≤ una relazione di ordine parziale su 𝐵.
Ne consegue che ∀𝑎,𝑏,𝑐 ∈ 𝐵 la relazione d’ordine deve soddisfare le condizioni di riflessività: 𝒂 ≤ 𝒂; antisimmetria: 𝒂 ≤ 𝒃 ∧ 𝒃 ≤ 𝒂 ⟶ 𝒂 = 𝒃; transitività: 𝒂 ≤ 𝒃 ∧ 𝒃 ≤ 𝒄 ⟶ 𝒂 ≤ 𝒄. Invece, possiamo definire reticolo una struttura del tipo 𝑹 = 〈𝑩,⋀,⋁〉 dove ⋀ e ⋁sono due operazioni binarie su 𝐵 che soddisfano le condizioni di idempotenza: 𝒂⋀𝒂 = 𝒂 e 𝒂⋁𝒂 = 𝒂; commutatività: 𝒂⋀𝒃 = 𝒃⋀𝒂 e 𝒂⋁𝒃 = 𝒃⋁𝒂; associatività: 𝒂⋀(𝒃⋀𝒄) = (𝒂⋀𝒃)⋀𝒄 e 𝒂⋁(𝒃⋁𝒄) = (𝒂⋁𝒃)⋁𝒄; assorbimento: 𝒂⋀(𝒃⋁𝒄) = 𝒂 e 𝒂⋁(𝒂⋀𝒃) = 𝒂.
Caratteristiche di un “reticolo”
Un reticolo può essere ortocomplementato, in tal caso viene chiamato ortoreticolo, ed è una struttura che del tipo 𝑹𝟎 = (𝑩,⋀,⋁,^′,𝟏,𝟎), che soddisfa due condizioni. La prima è che (𝐵,⋀,⋁) sia un reticolo il cui supporto contiene gli elementi 0 (minimo) e 1 (massimo), ossia ∀𝑎,0 ≤ 𝑎⋀𝑎 ≤ 1, pertanto si parla di reticolo limitato; la seconda condizione è che l’operazione ‘ sia un’operazione unaria su 𝐵 che soddisfa i principi di non contraddizione, terzo escluso, doppia negazione e contrapposizione, tale operazione viene definita ortocompletamento.
Inoltre, un reticolo può essere distributivo se rispetta le condizioni che 𝒂⋀(𝒃⋁𝒄) = (𝒂⋀𝒃)⋁(𝒃⋀𝒄) e 𝒂⋁(𝒃⋀𝒄) = (𝒂⋁𝒃) ∧ (𝒃⋁𝒄); in tal caso si parla di reticolo di de Morgan.
Date le suddette definizioni possiamo definire, ad esempio, un’algebra di Boole come una struttura del tipo 𝑩 = 〈𝑩,⋀,⋁,^′,𝟎,𝟏〉 che è sia un ortoreticolo che reticolo di de Morgan.
Tutto ciò è naturalmente correlato all’aspetto meramente fisico. Infatti, da questo punto di vista, per rappresentare gli stati fisici dei sistemi classici, è possibile utilizzare la nozione di misura di Borel di probabilità, una sua estensione, invece, può essere utilizzata per fornire una descrizione matematica degli stati dei sistemi quantistici.
In generale, mediante la definizione di σ-algebra e σ-algebra di Borel, distinguendo tra stato sharp e stato probabilistico, utilizzano i connettivi su menzionati (che costituiscono una struttura isomorfa ad una σ-algebra), definendo un sistema hamiltoniano, ecc…, è possibile trattare proposizioni infinite che possono essere legate a grandezze fisiche misurabili sul sistema.
L’approccio “ortodosso” alla logica quantistica presenta però degli elementi di insoddisfazione che si pensa possano essere eliminati (almeno in parte) mediante l’ausilio di logiche fuzzy o paraconsistenti in cui, per determinate proposizioni, le contraddizioni non sono necessariamente false, mentre la disgiunzione tra una proposizione e la sua negazione non è necessariamente vera.
Le logiche alternative alla logica classica rifiutano delle leggi basilari ritenute talmente ovvie che è molto difficile capire, o semplicemente intuire, i motivi per i quali si possa pensare di metterle in dubbio.
Per esempio, molto probabilmente, tutti noi concorderemmo sul fatto che la seguente proposizione: “Michele è italiano e Giovanni è inglese o tedesco” è equivalente alla proposizione: “Michele è italiano e Giovanni è inglese oppure o Michele è italiano e Giovanni è tedesco”.
Tale proposizione può essere formalizzata mediante l’ausilio di una nota regola logica conosciuta con il nome di Proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione, nel modo seguente: 𝒂 ∧ (𝒃 ∨ 𝒄) ⟷ (𝒂 ∧ 𝒃) ∨ (𝒂 ∧ 𝒄).
La logica nella meccanica quantistica
Questa semplice legge viene messa in discussione proprio in meccanica quantistica. Per esempio, sappiamo che lo spin di un elettrone può assumere solo due valori ½ e -½ ma, in base al Principio di indeterminazione di Heisenberg, noto lo spin lungo una certa direzione non può essere determinato simultaneamente quello dello stesso elettrone lungo un’altra direzione. Quindi, se lungo l’asse x lo spin dell’elettone vale +½ allora sarà vera la seguente proposizione: “Lo spin lungo l’asse x è + ½ e lo spin lungo l’asse y è + ½ o – ½” che può essere scritta nel modo seguente: 𝒂 ∧ (𝒃 ∨ 𝒄).
È interessantissimo notare, invece, che la proposizione: “Lo spin lungo l’asse x è + ½ e lo spin lungo l’asse y è + ½ oppure lo spin lungo l’asse x è+ ½ e lo spin lungo l’asse y è –½” che può essere scritta nel modo seguente: (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ (𝑎 ∧ 𝑐) non può essere ritenuta valida. Pertanto, nella logica classica possiamo affermare che 𝐴 ∨ 𝐵 è vera se e solo se è vero almeno uno dei due disgiunti.
Invece, nella logica quantistica la verità di una disgiunzione non implica la verità di uno dei due disgiunti.
In particolare, nel caso considerato della proposizione: “Lo spin lungo l’asse x è + ½ o – ½” anche se è vera la disgiunzione, non si può accettare nessuno dei due disgiunti, perché è stato determinato lo spin lungo l’asse x. Ne consegue che può verificarsi il caso in cui la proposizione “Lo spin lungo l’asse y vale + ½” non è vera, ma non lo è neanche la sua negazione, cioè questa: “Lo spin lungo l’asse y non vale + ½”. In tal modo si ottiene che una proposizione può essere falsa senza che sia vera la sua negazione.
La mancata validità di questa (ed altre) legge logica dipende da un diverso significato fornito ai connettivi, in particolare a quello della negazione; perché, nei casi su menzionati, sia i connettivi biargomentali che la negazione non sono più vero-funzionali, ma hanno un’interpretazione intesionale simile agli operatori modali.
“Più logiche” al servizio della quantistica
In definitiva, per ora, visti i profondi legami tra la cosiddetta logica modale aletica e le logiche quantistiche, le cui interpretazioni possono essere adeguatamente sviluppate mediante la semantica di Kripke, per studiare la meccanica quantistica sembrerebbe sia necessario utilizzare “più logiche” a seconda delle necessità.
Ritengo doveroso far notare che, indipendentemente dall’eleganza logico-matematica soggiacente alla meccanica quantistica, essa non ha nulla a che fare con bislacche o demenziali “teorie” (questa volta sì nell’accezione del linguaggio parlato) inerenti ad esistenza dell’anima, modifiche della realtà con il pensiero, comunicazione istantanea tra menti umane e teletrasporto, ed altre amenità che ammorbano la rete e non solo.
Λόγος
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