Cosa sono l’immunità di gregge e il fattore R0?

Il periodo di pandemia di Coronavirus in corso ci sta facendo diventare tutti immunologi; io stesso devo ammettere che, nel continuo tentativo di restare informato e reperire informazioni per fare una corretta divulgazione, ho imparato un sacco di cose sulla materia. In particolare, ho avuto modo finalmente di afferrare più nel dettaglio il funzionamento di alcuni principi immunologici di cui inevitabilmente si sta parlando moltissimo in questi giorni: l’immunità di gregge e il fattore R0. Principi che, come vedremo, sono inscindibilmente legati insieme.

Ho così pensato di approfittarne per provare a spiegare in modo semplice ma completo in cosa consistano l’immunità di gregge e il fattore R0 e perché abbiano un’inconfutabile valenza aritmetica, dimostrando che chi li nega, semplicemente, non conosce la matematica. Naturalmente, l’articolo è utile anche per tutti coloro che vogliono semplicemente capire meglio come funzioni l’immunità di gregge e come si calcoli.

Cos’è il fattore “R0”

Per arrivare a fornire una dimostrazione matematica dell’immunità di gregge dobbiamo in via preliminare spiegare un altro concetto dell’epidemiologia, di cui in questi giorni sentiamo parlare con una certa insistenza: il fattore R0.

Come spiegato anche sul sito dell’ISS, si intende con questo termine il numero di persone che un infetto è a sua volta in grado di contagiare: dire che una determinata malattia ha un fattore R0 pari a 2, ad esempio, equivale a dire che ogni malato può infettare altre 2 persone.

Perché questo dato è importante? Il motivo è che

R0 è funzione della probabilità di trasmissione per singolo contatto tra una persona infetta ed una suscettibile, del numero dei contatti della persona infetta e della durata dell’infettività; questo ci dice che riducendo almeno uno dei tre parametri possiamo ridurre tale valore e quindi poter controllare, o almeno ritardare, la diffusione del patogeno ad altre persone

ISS

Infatti, la ormai celebre “curva dei contagi” ipotetica che gli esperti usano come parametro per monitorare la situazione e valutare l’effettiva crescita dell’epidemia rispetto alle aspettative, si fonda appunto su una previsione basata sul fattore R0: si considera cioè che ogni malato infetti un tot di altre persone, facendo crescere la curva.

Cos’è il “picco”

Come possiamo vedere da questa curva presa come modello, la crescita dei contagi sarà esponenziale, perché ogni nuovo contagiato infetterà a sua volta un numero di persone pari al numero R0. Poniamo cioè una malattia con fattore R0 pari a 5; questo significa che il paziente 0 contagerà 5 persone, quelle 5 persone ne contageranno altre 5 a testa – quindi altre 25 persone -, quelle 25 altre 5 a testa – quindi 125 – e così via.

Naturalmente, questa curva non potrà continuare a crescere in maniera esponenziale per sempre, e per ragioni matematiche semplici: la comunità di riferimento ha infatti un numero di soggetti finito, quindi inevitabilmente ad un certo punto il raggiungimento di un certo numero di contagiati impedirà la crescita esponenziale.

In Italia, ad esempio, siamo circa 60 milioni. Poniamo che la crescita dei contagi ad un certo punto raggiunga i 20 milioni di individui; restando nell’ipotesi della malattia con fattore R0 pari a 5, se quei 20 milioni di contagiati infettassero a loro volta 5 persone a testa ci sarebbero 100 milioni di contagiati. Ma essendo noi solo 60 milioni, sarà inevitabile che il numero di contagiati sia inferiore – per il semplice fatto che non esistono altri 5 soggetti sani per ogni contagiato -, quindi la crescita esponenziale rallenterà.

Il raggiungimento di quel punto della curva, a partire dal quale il numero di contagiati comincerà inevitabilmente ad arrestarsi e poi a scendere in maniera altrettanto esponenziale – più aumentano i contagi più è difficile infettare altri soggetti – è quello che definiamo “picco dell’epidemia“.

Quali fattori incidono sull’R0?

La situazione appena esposta è un modello solo ipotetico della realtà; questo perché, nei fatti, esistono numerosi fattori che incidono sul fattore R0 e che contribuiscono ad alterare quel dato.

Ad esempio, non è detto che l’intera popolazione sia suscettibile al contagio: nella comunità esistono infatti generalmente soggetti immuni alla malattia perché l’hanno già contratta in passato o perché si sono vaccinati. Questo dato, ovviamente, altera il fattore R0 di una malattia, modificando cioè la sua effettiva capacità di contagio.

Prendiamo ad esempio il morbillo. Si tratta di una delle malattie più contagiose che conosciamo, con un fattore R0 che oscilla addirittura tra 12 e 18. Questo però è il dato in condizioni normali, ma nella realtà dei fatti per il morbillo esiste un vaccino e molti di noi hanno già contratto il virus in passato e quindi sono immuni. Questo contribuisce ad abbattere quel valore addirittura sotto 1. Ma riprenderemo questo esempio tra poco, quando definiremo meglio il concetto di “immunità di gregge”.

In assenza di una immunizzazione – indotta dal vaccino o naturale che sia – vi sono comunque altri sistemi per abbassare quel numero. E’ il caso dell’epidemia odierna.

Il Sars-Cov-2 ha un fattore R0 che oscilla tra 1,8 e 5, in base ai dati rilevati nei vari paesi. E’ un fattore ben più basso del morbillo, ma per il Coronavirus non abbiamo alcuna immunizzazione quindi non esistono fattori che abbassino quel numero. Ecco perché è così contagioso, anche più del morbillo.

In tali casi, è possibile abbassare quel numero ricorrendo ad altri stratagemmi, come appunto la quarantena. Isolare i soggetti esposti, infatti, limita al massimo le possibilità di contatto con gli altri, e questo contribuisce ad abbassare il fattore R0. Se infatti un infetto può, in condizioni normali, infettare altre 5 persone, è fisiologico che se si chiude in casa ed esce solo per fare la spesa, sarà molto più difficile che contagi 5 persone e magari ne contagerà una sola.

Questo è il motivo per cui si ricorre alla quarantena in presenza di virus “nuovi”, sui quali non c’è immunità.

Ma a cosa serve esattamente abbassare il fattore R0? E quanto deve essere abbassato perché produca effetti benefici sulla popolazione?

Fattore R0 e immunità di gregge: un semplice calcolo matematico

Abbiamo detto che il fattore R0 indica il numero di persone che un infetto può contagiare. Per logica, dunque, finché quel fattore è superiore a 1 la malattia continuerà a circolare; se è inferiore a 1, significa che l’infetto non contagia neanche una persona, quindi l’epidemia si arresta. Come si lega questo concetto con l’immunità di gregge?

L’immunità di gregge è esattamente la percentuale minima di “non contagiabili” che, per ogni malattia, permette al fattore R0 di scendere sotto 1.

Ecco perché varia da malattia a malattia: è un conteggio matematico che dipende dal fattore R0, che cambia a seconda del tipo di virus.

Torniamo al nostro morbillo.

Abbiamo visto che il morbillo ha un R0 pari a 12/18. Altissimo. Tuttavia, abbiamo anche visto che più immuni ci sono, più quel numero si abbassa. Quanti immuni devono esserci per far scendere quel valore sotto l’1, fermando l’epidemia?

Ce lo dice la matematica: prendendo come riferimento l’R0 più alto, ossia 18, constatiamo che per far scendere quel numero sotto l’1 dobbiamo moltiplicare 18 x 0,05, il cui risultato fa infatti 0,9. 0,05 significa il 5%. Questo vuol dire che per fermare l’epidemia di morbillo il numero di persone suscettibili al contagio deve essere non più del 5% della popolazione totale. Di conseguenza, è necessario immunizzarne il 95%.

Questo 95% è appunto la soglia di immunità di gregge per il morbillo.

Come molte volte si è sentito dire dagli esperti negli anni scorsi, infatti, per raggiungere l’immunità di gregge dal morbillo bisognava vaccinare almeno il 95% delle persone.

Qual è l’immunità di gregge del Sars-Cov-2?

Trattandosi di un mero calcolo matematico, possiamo ora applicarlo al Coronavirus, ragionando sull’immunità di gregge e il fattore R0 di questo virus.

Sappiamo che, in media, il Sars-Cov-2 ha un R0 pari a 2,5 circa. Per quale numero va moltiplicato quel fattore per ottenere 1? La risposta è 0,4 (2,5 x 0,4 = 1). 0,4 corrisponde al 60% della popolazione. Ecco quindi l’immunità di gregge del Coronavirus.

immunità di gregge e fattore R0

Certo: ammesso e non concesso che questa immunizzazione sia effettivamente raggiungibile, ma gli studi che arrivano dalla Cina sembrano confortanti.

Tuttavia, in assenza di un vaccino l’immunità di gregge può essere raggiunta solo in modo naturale: vista la letalità della malattia – 2-3% – e il tasso di ospedalizzazione – 18-20% – per raggiungere l’immunità di gregge al Covid-19 in modo naturale, ossia infettare il 60% della popolazione, si dovrebbe passare per quasi 500.000 morti e diversi milioni di ospedalizzati. Una strage, insomma.

Ecco perché si ricorre alla quarantena: l’isolamento e l’obbligo di restare a casa imposto alla stragrande maggioranza dei cittadini non contribuisce solamente a diminuire le possibilità di contagio, ma anche a ridurre il numero assoluto di persone esposte all’epidemia e quindi la percentuale della soglia di immunità di gregge necessaria per fermarla.

Se la stragrande maggioranza delle persone è chiusa in casa, infatti, il conteggio dato dal rapporto tra immunità di gregge e fattore R0 diminuisce notevolmente, perché diminuisce il numero di persone contagiabili, che non sarebbero più, nel nostro caso, 60 milioni, ma magari solo 20. Ed è ovvio che se il numero totale di persone su cui svolgere i calcoli è 20 milioni anziché 60, chiaramente il picco verrà raggiunto molto prima, per il semplice fatto che il limite oltre il quale la crescita esponenziale non sarà più possibile arriverà più in fretta.

I negazionisti dell’immunità di gregge non conoscono la matematica

immunità di gregge e fattore R0

Come spero di essere riuscito a chiarire in modo semplice, anche senza essere un matematico o un’immunologo, risulta evidente che il principio di immunità di gregge, lungi dall’essere una teoria senza fondamento imposta dai poteri forti al servizio di Big Pharma, consiste in un semplice calcolo matematico per comprendere il quale è sufficiente aver ultimato le scuole dell’obbligo.

Fa peraltro sorridere che i no vax, che fino a ieri negavano la validità di questo principio, oggi vaneggino sull’opportunità di ottenere un’immunizzazione naturale invece di ricorrere al vaccino e ingrassare le casse di Big Pharma, senza rendersi conto che l’immunizzazione naturale potrebbe fermare l’epidemia proprio perché consentirebbe, alla lunga, il raggiungimento della soglia di immunità di gregge di cui negano l’esistenza.

Ma sì sa: no vax e logica sono due rette parallele che non si incontrano mai, ma loro non se ne accorgono perché, oltre alla matematica, ignorano anche la geometria…

P.T.